点积与相似度：拖动 K 向量感受变化 · 右侧对照推导过程
Q K θ
夹角 θ
0°
cos θ
1.00
Q · K
6.00
Q · K = |Q| × |K| × cos θ
Q = [3, 0]   |Q| = 3   |K| = 2
Q · K = 3 × 2 × cos(0°) = 6.00
推导：点积 = |a||b|cosθ
1
起点：余弦定理
|a − b|² = |a|² + |b|² − 2|a||b|cosθ
对向量 a、b 构成的三角形，第三边为 a−b
2
展开左边
|a−b|² = (a−b)·(a−b)
= a·a − 2(a·b) + b·b
= |a|² − 2(a·b) + |b|²
点积分配律展开，a·a = |a|²
3
代入余弦定理
|a|² − 2(a·b) + |b|²
= |a|² + |b|² − 2|a||b|cosθ
4
消去相同项
|a|² + |b|² − 2(a·b) = |a|² + |b|² − 2|a||b|cosθ
⟹ −2(a·b) = −2|a||b|cosθ
5
得到结论
a · b = |a| |b| cosθ
点积 = 模长之积 × 夹角余弦
方向越一致 → θ 越小 → cosθ 越大 → 点积越大
6
几何直觉验证
向量 a、b 与 a−b 构成三角形
θ 越小，a−b 越短，a 和 b 越"相似"
点积的本质 = 方向一致性的量化
θ=0° → cosθ=1 → 点积最大（最相似）
θ=90° → cosθ=0 → 点积为零（无关）
θ=180° → cosθ=−1 → 点积最小（最不相似）